我的学习群里全是真大佬 第390节

　　“3呢？在Z[i]里，它还是素数，它不分裂。”

　　“7呢？也不分裂。”

　　“为什么有的素数分裂，有的不分裂？”

　　他看了一眼章衡。

　　章衡的眼睛已经发亮了，然后大声说道。

　　“模4余1的分裂。”

　　“模4余3的不分裂。”

　　李东点了点头。

　　“所以r?(n)其实问的是什么？”

　　“问的是把n在Z[i]里头分解成两个高斯整数的乘积，有多少种分法。”

　　“这是高斯整数里头的'除数函数'。”

　　“换一个数系，这个问题从'数解'变成了'数除数'。”

　　“换一个视角，这个问题就从'代数变换的组合问题'，变成了'数论里头熟悉的因子计数问题'。”

　　他停顿了一下，指了指邱嘉源

　　“这位同学，你刚才那一个面积估算说r?(n)的平均阶是π。”

　　“你知道为什么是π吗？”

　　邱嘉源有些犹豫的说道。

　　“圆的面积公式。”

　　“是。”

　　李东摇了摇头。

　　“也不是。”

　　“圆的面积公式，是一个表象。”

　　“你把这个解数函数r?(n)做一个 Dirichlet级数。”

　　李东在黑板上又写了一行。

　　【Σ r?(n)/ n^s = 4·ζ(s)· L(s，χ)】

　　“它在解析上分裂成两个东西的乘积。”

　　“一个，是黎曼ζ函数。”

　　“另一个，是模4那一个非平凡特征的 Dirichlet L函数。”

　　“乘积的第一项，在s=1处有极点，留数等于1。”

　　“乘积的第二项，在s=1处的值，是π/4。”

　　“两个一乘，就出了那一个π。”

　　“这才是为什么平均阶是π的原因。”

　　“那一个π，不是从圆里头掉出来的。”

　　“是从一个L函数里头掉出来的。”

　　台下的人现在已经懵了。

　　邱嘉源那一口气没缓上来。

　　他刚才答的“圆的面积”。

　　是这个L函数在s=1那一头留下来的一个偶然事件。

　　李东转过身。

　　“我们再退一步。”

　　“刚才那一个L(s，χ)是什么？”

　　“它是把模4那个简简单单的奇偶性，翻译成了一个解析对象。”

　　“这一档东西，有一个名字。”

　　“它叫……自守L函数最初的、最最最低维的一个例子。”

　　“GL(1)上的自守L函数。”

　　他到此刻，一句“朗兰兹”都没提。

　　但是在场的研究生们，听到这儿，脸色都已经变了。

　　他们意识到了。

　　这个看起来像是“小学生数题数解”的小游戏。

　　是一个19世纪的数学家用最朴素的方式，触碰到了20世纪最庞大的那一座山的山脚。

　　而这一座山，刚刚由这一位面前的少年，被命名了一块新的山头。

　　李东在黑板上，把那两个公式之间画了一根简单的箭头。

　　然后他看着台下。

　　“我说这一节课不讲朗兰兹。”

　　“我没骗你们。”

　　“我没讲。”

　　他笑了一下。

　　“但你们刚才听见的每一个字，其实都在讲。”

　　“问题没变。”

　　“a?+ b?= n，解多少组。”

　　“答案在变。”

　　“代数视角告诉你，要换数系。”

　　“几何视角告诉你，平均阶是π。”

　　“分析视角告诉你，π来自于一个L函数。”

　　“它们其实是同一件事。”

　　“同一件事，只是被不同的人，用不同的语言，说了三遍。”

　　台下安静极了。

　　李东这个时候，语气慢了下来。

　　“我以前有一位高中老师。”

　　“教我数学的。”

　　“他和我说过一句话。”

　　“原话当然我记不太清了，我就大概说说意思。”

　　“几何也好，代数也好，分析也好，数论也好，组合也好。”

　　“它们看起来在不同的房间里。”

　　“那只是因为给它们盖房子的人，把墙砌起来了。”

　　“墙不是知识。”

　　“墙是为了教学方便。”

　　“你需要哪一个房间里的知识的时候，顺手把这面墙拆了就是了。”

　　“拆完了，房子就连成了一片。”

　　“今天这一节课，讲的就是怎么拆这些墙。”

　　教室里安静得能听见后排的人咽口水的声音。

　　李东抬起头。

　　他的目光从台下扫过。

　　“再过五十年，等你们当中有人坐到我现在这一个位置上，跟下一代讲这一道题的时候。”

　　“我希望你们告诉他们的，不是雅可比怎么写出那一个公式。”

　　“也不是高斯怎么数那一片整点。”

　　“是一句话。”

　　他停了一下。

　　“数学，从来都只有一种数学。”

　　“它穿过不同的窗户，洒下了不同的影子。”

　　“我们做数学的人，一辈子要做的就只有一件事——”

　　他抬起头。

　　“穿过那些影子，去找那一束光。”

　　教室里头，先是有那么半秒的鸦雀无声。

　　然后，有人先鼓起了掌。

　　紧接着，所有的人都跟着站起来鼓掌了。

　　五百多双手。

　　拍出来的那一阵掌声，像是要把光华楼的天花板掀起来一样。

　　经久不息。

　　李东就站在讲台上。