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学霸,求求你快去保送吧! 第406节

考官有了之前的准备,所以对许衡的观察更加细致入微。

在和上一场三位考官交流的时候,他们尤为强调许衡在开考铃声响起的刹那就开始答题了。

再次之前,他们都没注意到许衡是怎么看题,审题的。

这一次,他们有了心理准备,特意安排一个考官,专门盯着许衡。

也就是这位美女。

她看着许衡,一丝不苟。

她本以为许衡会用手指在纸上动一动,大概地心里有个数。

但出乎预料,许衡在看题之后,仿佛老僧入定,就看这题目,一动也不动。

她很奇怪。

难道单凭用脑子空想就能给出答案?

不可能!

绝对不可能!

这可是奥数竞赛题!

不说她自己上学时候不可能做到这种事,就是她现在在数学领域已经带了五六年,她也不敢小觑奥数竞赛题。

“铃铃铃……”

随着铃声响起。

许衡拿起了笔。

第四题:

反帕斯卡三角形是由数组成的一个正三角形阵,满足除了最下方一行,每个数是它下方相邻两个数之差的绝对值。

例如,下面是一个四行的反帕斯卡三角形,由数1到10组成。

4

2、6

5、7、1

8、3、10、9

请问是否存在2018行的反帕斯卡三角形,包含1到1+2+…+2018所有的整数?

许衡依旧是提笔就来:

设n行反派斯卡三角形中的数为……

令a1=b1为第一行的唯一的数,递推定义……

则有a(i-1)=ai-bi。对于题目中n=2018,切规定数范围{1,2,…,n(n+1)/2}的反帕斯卡三角形有:

an=bn+b(n-1)+…+b2+b1

考虑到bi,i=1,…,n互不相同,及规定的范围an≤n(n+1)/2,可知必有

an=n(n+1)/2,{bi,i=1,…,n}={1,2,…,n}

如果设Mi,mi分别为第i行的最大数与最小数,可知……

……

可知等号必然成立,结合前面的估计,有……

……

定义:Sn={1,2,…,n},Bn={n(n+1)/2-j,j+0,1,n}

Sn是最小的n个数,Bn是最大的n+1个数,已知每行有一个Sn中的数(即bi)。

若第k(k<n)行有两个Bn中的数,例如,……

……

设满足Mi∈Bn中的最小i为p,则前p-1……

根据Bn中数的范围,及Mp的估计式可以得到……

n=2018带入最后的式子,左右两边矛盾。

不存在n=2018行,由{1,2,…,n(n+1)/2}构成的反派斯卡三角形。

第一题搞定。

许衡直接翻页。

这道题的困难程度在于,要不停地假设,一个假设,套着另一个假设。

像极了套娃!

许衡有条不紊地,一步一步证明出来。

一直盯着许衡的这位女考官,很惊讶!

她看着许衡的答题!

虽然她看不懂许衡写的文字,但她看着,很舒服!

看着许衡的汉字,她根本就不觉得这是文字,更像是艺术品!

每一个字,在她眼中,都成了艺术品!

这一刻,因为许衡,她对汉字产生了浓厚的兴趣!

她发自内心深处,觉得许衡写的字,比那些字母,好看、漂亮多了!

就在她惊讶的同时,许衡已经翻到了第二页,在第二题的空白处,答题了。

就这样答题了……

和上一次不同!

许衡昨天在作答第二题的时候,还看了题目,还停顿了!

可今天,许衡没有停顿!

翻页之后,就是解答。

第五题(也就是今天的第二题):

求所有的函数f:Z→Z使得对任意满足a+b+c=0的整数a,b,c恒有f(a)2+f(b)2+f(c)2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)。

在女考官眼中,许衡连翻页这个动作,都是那样的行云流水。

翻页!

提笔!

开始答题。

一气呵成!

整个过程,许衡沉稳无比,仿佛一切胸有成竹!

当然……

他,就是胸有成竹!

在许衡看来,今天的题目和昨天的相差无几,甚至比昨天的还简单一些。

所以他在还没正式考试的前十分钟,已经看完了这两道题!

也正是因为对这两道题了解了,还有就是为了不让他们再那么大惊小怪,许衡选择了放慢速度。

慢慢地写字!

慢慢的答题!

这在女考官眼中,许衡尽显东方人的儒雅之风!

写的每一个字,都是享受!

都是一场神圣的视觉盛宴,令人神往。

女考官忍不住凑到另外两位考官身边,用胳膊肘碰了碰他们一下。

他们才注意到,整个考场中,唯有许衡,挺直腰杆,如一把锋利的宝剑,立于天地之间。

在看其他五位,要么弓着腰,抓耳挠腮,要么眉头紧锁,精神萎靡。

废话!

昨天的打击,心态崩了,再加上昨晚没睡好,再加上今天的题目依旧很绕人,他们哪有心情表现得那么淡定,表现得游刃有余?

唯独许衡!

许衡有条不紊。

令a=b=c=0可得3f(0)2=6f(0)2,这说明f(0)=0。现在我们令b=a,c=0可得到f(a)2+f(a)2=2f(a)f(a)即(f(a)f(a))2,于是f(a)=f(a),即f(n)为偶函数。

假设对某个整数a使得f(a)=0,则对任意整数b我们有a+b+(ab)=0,因此f(a)2+f(b)2+f(a+b)2=2f(b)f(a+b),这等价于(f(b)f(a+b))2=0,即f(a+b)=f(b)。

因此对某个整数a使得f(a)=0时,f是一个以a为周期的函数。

……

现在假设f(2)=4f(1)并且f(1)≠0。

如果对任意的整数n都有f(n)=n2*f(1)成立,那么……

……

综上所述,函数方程的解为:f(x)=cx2,其中c∈Z;f(x)={0,c,2∣n,2n其中c∈Z。

以及……

三位考官都沉浸在许衡的答题过程中。

许衡就腰背挺直地坐在座位上,一笔一划,十分认真。

不论从哪个角度看,他们都觉得很享受。

完美的字迹!

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